Question

6．已知函數(shù)${f_{\;}}（x）={x^3}-3{a^2}x-1$，（a＜0）．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=t與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0，即可求出單調(diào)增區(qū)間，
（2）先根據(jù)極值點(diǎn)求出a，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值以及端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象可知，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)只需使m在兩個(gè)極值之間

解答 解�。�1）f′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²）=3（x-a ）（x+a），
∵a＜0，令f′（x）＞0，則x＜a或x＞-a
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a）和（-a，+∞）．
（2）∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=3×（-1）-3a²=0，且a＜0
∴a=-1．
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1，
在x=1處取得極小值f（1）=-3．
∵直線y=t與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f（x）的圖象可知：

實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-3，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值和利用導(dǎo)數(shù)研究圖象等問題，屬于中檔題．