Question

【題目】已知數(shù)列{an}，滿足a1=1， ，n∈N* ． （Ⅰ）求證：數(shù)列 為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè) ，求T2n ．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）：法一：由 ，得 = = + ， ∴ ﹣ = ，
∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，
法二：由 ，得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ =
∴數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，
（Ⅱ）解：設(shè)bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，
由（Ⅰ）得，數(shù)列{ }是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，
∴ ﹣ =﹣ ，
即bn=（ ﹣ ） =﹣ ﹣ ，
∴bn+1﹣bn=﹣ （ ﹣ ）=﹣ × =﹣ ，
且b1=﹣ × =﹣ （ + ）=﹣
∴{bn}是首項(xiàng)b1=﹣ ，公差為﹣ 的等差數(shù)列，
∴T2n=b1+b2+…+bn=﹣ n+ ×（﹣ ）=﹣ （2n2+3n）
【解析】（Ⅰ）方法一：根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到 = = + ，即可得到 ﹣ = ，問題得以解決，方法二：根據(jù)數(shù)列的遞推公式得 ﹣ = ﹣ =（ + ）﹣ = ，問題得以解決，（Ⅱ）設(shè)bn= ﹣ =（ ﹣ ） ，得到{bn}是首項(xiàng)b1=﹣ ，公差為﹣ 的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．