Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

2

x

，f（x）=f（c）有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=x²+

2

x

，求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合圖象得出f（x）=f（c）有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根的條件為：c²+

2

c

＞3，即

(c+2)(c-1)2

c

＞0，解此不等式即可得到c的范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+

2

x

，
f′（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
f′（x）=0，x=1，
f′（x）＞0，x＞1，f′（x）＜0，x＜0，或0＜x＜1
f（x）在（-∞，0）（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
f（1）=3，
據(jù)圖可知；可以轉(zhuǎn)化為：

c≠1 c(c+2)＞0

解不等式得c的范圍：（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)圖象在求解方程根的問(wèn)題中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)式子的理解轉(zhuǎn)化，是解決本題的關(guān)鍵．