(2013•資陽二模)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D、E分別為A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=
14
AB

(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1:15,若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,說明理由.
分析:(I)取AB的中點(diǎn)M,根據(jù)AF=
1
4
AB
,得到F為AM的中點(diǎn),又Q為AA1的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理得EF∥A1M,從而在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1DBM為平行四邊形,進(jìn)一步得出EF∥BD.最后根據(jù)線面平行的判定即可證出EF∥平面BC1D.
(II)對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)在棱AC上存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1:15,再利用棱柱、棱錐的體積公式,求出AG與AC的比值,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
解答:證明:(I)取AB的中點(diǎn)M,∵AF=
1
4
AB
,∴F為AM的中點(diǎn),
又∵Q為AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1M
在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,M分別為A1B1,AB的中點(diǎn),
∴A1D∥BM,A1D=BM,
∴A1DBM為平行四邊形,∴AM∥BD
∴EF∥BD.
∵BD?平面BC1D,EF?平面BC1D,
∴EF∥平面BC1D.
(II)設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1:15,
VE-AFGVABC-A1B1C1=1:16,
VE-AFG
VABC-A1B1C1
=
1
3
×
1
2
AF•AGsin∠GAF•AE
1
2
AB•ACsin∠CAB•AA1

=
1
3
×
1
4
×
1
2
×
AG
AC
=
1
24
AG
AC

1
24
AG
AC
=
1
16
,∴
AG
AC
=
3
2
,
∴AG=
3
2
AC>AC

所以符合要求的點(diǎn)G不存在.
點(diǎn)評(píng):本題考查線面平行,考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定證明線面平行,屬于中檔題.
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幸福指數(shù)評(píng)分值 頻數(shù) 頻率
[50,60] 1
(60,70] 6
(70,80]
(80,90] 3
(90,100] 2
(Ⅰ)請(qǐng)完成題目中的頻率分布表,并補(bǔ)全題目中的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)該部門將邀請(qǐng)被問卷調(diào)查的部分居民參加“幸福愿景”的座談會(huì).在題中抽樣統(tǒng)計(jì)的這20人中,已知幸福指數(shù)評(píng)分值在區(qū)間(80,100]的5人中有2人被邀請(qǐng)參加座談,求其中幸福指數(shù)評(píng)分值在區(qū)間(80,90]的僅有1人被邀請(qǐng)的概率.

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(2013•資陽二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(1,1)與(
6
2
3
2
)兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求證:
1
|OA|2
+
1
|OB|2
+
2
|OM|2
為定值.

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(2013•資陽二模)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,5},則(?UA)∪B=(  )

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