Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n（n∈N*）是整數(shù)，且a_n+1-a_n是關(guān)于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根．
（1）若a₁=4且n≥2時(shí)，4≤a_n≤8求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)和S₁₀₀；
（2）若a₁=-8，a₆=1且a_n＜a_n+1（n∈N^*）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1-a_n是關(guān)于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根，可得a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，結(jié)合a₁=4且n≥2時(shí)，4≤a_n≤8，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)條件，確定數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)是-8，-6，-4，-2，-1，1，且n＞4時(shí)，a_n+1=a_n+2，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n是關(guān)于x的方程x²+（a_n+1-2）x-2a_n+1=0的根
∴（a_n+1-a_n）²+（a_n+1-2）（a_n+1-a_n）-2a_n+1=0
∴（a_n+1-a_n-2）（2a_n+1-a_n）=0
∴a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，
∵a₁=4且n≥2時(shí)，4≤a_n≤8，
∴數(shù)列{a_n}為：4，6，8，4，6，8，…，
∴數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)和S₁₀₀=33（4+6+8）+4=598；
（2）若a₁=-8且a_n＜a_n+1（n∈N^*）
∵a_n+1=a_n+2，或a_n+1=

1

2

a_n，
∴數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)是：-8，-6，-4，-2，0，2或-8，-6，-4，-2，-1，1或：-8，-6，-3，-1，1，3或-8，-6，-2，0，2，4或-8，-6，-2，-1，1，3
∵a₆=1，∴數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)是-8，-6，-4，-2，-1，1，且n＞4時(shí)，a_n+1=a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=

2n-10，n≤4 2n-11，n≥5

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．