如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O為AB的中點(diǎn).
(1)求證:OC⊥DF;
(2)求平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大;
(3)求多面體ABC—FDE的體積V.
(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
即
(2)平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為
(3)
【解析】
試題分析:(1)證法一:FA⊥平面ABC,平面ABC, 2分
又CA=CB且O為AB的中點(diǎn), 平面ABDF, 4分
平面ABDF, 5分
證法二:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、Oz分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 2分
即 5分
(2)解法一:解:設(shè)平面ABC的法向量為 6分
設(shè)平面DEF的法向量為
由得,
解得, 8分
所以, 10分
故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為 11分
解法二:設(shè)平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為,依題中的條件可求得DE=由空間射影定理得故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為 11分
解法三:延長(zhǎng)ED、FD交直線CB、AB于M、N兩點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)作MN的垂線交MN于Q點(diǎn),連結(jié)DQ,
平面BMN,所以為二面角的平面角,
,故平面DEF與平面ABC相交所成銳二面角的大小為 11分
(3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC,
14分
所以多面體ABC—FDE的體積為解法二:在原來(lái)的幾何體再補(bǔ)一個(gè)相同的幾何體得到一個(gè)直三棱柱,其底面為ABC,高為4,
所以多面體ABC—FDE的體積所以多面體ABC—FDE的體積為
考點(diǎn):本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角及體積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。
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