Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1 ， F2在坐標(biāo)軸上，離心率為 ，且過(guò)點(diǎn)（4，﹣ ），點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）求證：MF1⊥MF2；
（3）求△F1MF2的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ，∵c2=b2+a2∴a2=b2

∴可設(shè)雙曲線方程為x2﹣y2=λ（λ≠0）

∵雙曲線過(guò)點(diǎn) ，∴16﹣10=λ，即λ=6

∴雙曲線方程為x2﹣y2=6．

（2）證明：由（1）可知，在雙曲線中 ，∴ ，

∴ ．

∴ ，

又∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，∴9﹣m2=6，m2=3．

∴

∴MF1⊥MF2

（3）解：由（2）知MF1⊥MF2，

∴△MF1F2為直角三角形．

又 ， ， 或 ，

由兩點(diǎn)間距離公式得 ，

，

= ．

即△F1MF2的面積為6

【解析】（1）先求出a，b的關(guān)系，設(shè)出雙曲線的方程，求出參數(shù)的值，從而求出雙曲線方程即可；（2）先表示出MF1和MF2的斜率，從而求出m的值，進(jìn)而求出斜率的乘積為﹣1，證出結(jié)論；（3）分別求出MF1和MF2的長(zhǎng)度，從而求出三角形的面積即可．