Question

19．已知A，B是單位圓O上的兩個動點，|AB|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$．若M是線段AB的中點，則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由A，B是圓O：x²+y²=1上的兩個動點，|AB|=$\sqrt{2}$，得到$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{2}$，再根據(jù)向量的幾何意義和向量的數(shù)量積公式計算即可

解答 解：A，B是單位圓O上的兩個動點，即圓為x²+y²=1，|AB|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∵M(jìn)是線段AB的中點，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∵$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=（2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{2}$（2${\overrightarrow{OA}}^{2}$-${\overrightarrow{OB}}^{2}$）=$\frac{1}{2}$×（2-1）=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)以及向量的幾何意義和向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．