已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（１）求實數(shù)的值；

（２）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；

（３）已知正數(shù)，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù)，都有.

 

【答案】

（1）-1；（2）（3）見解析.

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。并和不等式進行綜合的試題。有難度。

解：（１）

 

（３）用數(shù)學歸納法證明.

①當n=2時，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當n=2時，結(jié)論成立.            …………………………9分

②假設當n=k時結(jié)論成立，即當時，

. 當n=k+1時，設正數(shù)，令，

， 則，且.

           …………………………13分

當n=k+1時，結(jié)論也成立.

綜上由①②，對任意，結(jié)論恒成立. …………………………14分

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆安徽省高三上學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)().

(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當時,取得極值，求函數(shù)在上的最小值;

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆遼寧丹東市高二4月月考（一）理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù),函數(shù)

①當時,求函數(shù)的表達式;

②若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;

③在②的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省高三4月月考數(shù)學文理合卷試卷（解析版） 題型：解答題

理科（本小題14分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山西省高三下學期5月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

(I)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性：

(Ⅱ)若函數(shù)的圖像上存在不同兩點，，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”.

試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年海南省高三第六次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù),函數(shù)

⑴當時,求函數(shù)的表達式;

⑵若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;

⑶在⑵的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積.

 

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