【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R,且a為常數(shù)) (Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.
【答案】解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞) 由 ,
當(dāng)a=4時(shí), ,
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,(2,+∞)在上單調(diào)遞增;
(Ⅱ)由
當(dāng)a≤2時(shí),
∵f'(x)>0對(duì)于x∈(1,+∞)恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增
∴f(x)>f(1)=0,此時(shí)命題成立;
當(dāng)a>2時(shí),
∵f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,
∴當(dāng) 時(shí),有f(x)<f(1)=0.這與題設(shè)矛盾,不合.
故a的取值范圍是(﹣∞,2];
(Ⅱ)依題意,設(shè)g(x)=f(x)+a+1,
原題即為若g(x)在(1,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
顯然函數(shù)g(x)與f(x)的單調(diào)性是一致的.
當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(1,2)上遞增,
由題意可知 ,
解得 ;
當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)間(x)=(x﹣1)2+alnx+(2﹣x)a+1,
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),總有g(shù)(x)>0,此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)根.
綜上所述,當(dāng) 時(shí),方程f(x)+a+1=0在x∈(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出,(Ⅱ)分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而解得;(Ⅲ)依題意,設(shè)g(x)=f(x)+a+1,原題即為若g(x)在(1,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.顯然函數(shù)g(x)與f(x)的單調(diào)性是一致的,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)a<0,即可得到可知 ,解得即可,當(dāng)a≥0,判斷此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)根,問(wèn)題得以解決.
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【題目】根據(jù)“2015年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)” 中公布的數(shù)據(jù),從2011 年到2015 年,我國(guó)的
第三產(chǎn)業(yè)在中的比重如下:
年份 | |||||
年份代碼 | |||||
第三產(chǎn)業(yè)比重 |
(1)在所給坐標(biāo)系中作出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;
(2)建立第三產(chǎn)業(yè)在中的比重關(guān)于年份代碼的回歸方程;
(3)按照當(dāng)前的變化趨勢(shì),預(yù)測(cè)2017 年我國(guó)第三產(chǎn)業(yè)在中的比重.
附注: 回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
, .
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(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.
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