【題目】設(shè)橢圓,圓為.
(1)若橢圓的長軸為4,且焦距與橢圓的焦距相等,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過圓上任意一點作其切線,若與橢圓交于兩點,求證:為定值(為坐標(biāo)原點);
(3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.
【答案】(1)或;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)求出橢圓的焦距,可得橢圓的焦距,結(jié)合橢圓的長軸為4與性質(zhì),求出的值,討論兩種情況即可得結(jié)果;(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,與橢圓方程聯(lián)立 ,利用韋達(dá)定理,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可證明從而可得結(jié)果;(3)求得,要求的取值范圍,只需求出弦長的取值范圍.由弦長公式可得,利用基本不等式可得結(jié)果.
(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或,由題知,則,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或;
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,不妨設(shè)其方程為,則,所以.
②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,并設(shè),
則由得,即,
故,即
且,
由直線與“相關(guān)圓” 相切,得,即,
故
,
從而,即,
綜合上述,得為定值.
(3)由于,所以求的取值范圍,只需求出弦長的取值范圍.
當(dāng)直線的斜率不存在時,由(2)的①,知;
當(dāng)直線的斜率存在時,
.
①當(dāng)時,;
②當(dāng)時,因為,所以,
故,當(dāng)且僅當(dāng)時,,
于是的取值范圍為,因此的取值范圍為.
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【題目】已知, 是雙曲線的左,右焦點,點在雙曲線上,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若,則雙曲線離心率的取值范圍為
B. 若,則雙曲線離心率的取值范圍為
C. 若,則雙曲線離心率的取值范圍為
D. 若,則雙曲線離心率的取值范圍為
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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:
①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點);
②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.
其中,所有正確結(jié)論的序號是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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【題目】閱讀如圖所示的程序框圖,若輸出的數(shù)據(jù)為141,則判斷框中應(yīng)填入的條件為( )
A. B. C. D.
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【題目】某班從4位男生和3位女生志愿者選出4人參加校運會的點名簽到工作,則選出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
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【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,圓C:(x﹣)2+y2=4,l與圓C交于A,B,圓C與E交于M,N.若A,B,M,N為同一個矩形的四個頂點,則E的方程為( )
A. y2=xB. y2=xC. y2=2xD. y2=2x
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集為(-∞,-2)∪(1,+∞).
(Ⅰ)求a和b的值;
(Ⅱ)求不等式ax2-(c+b)x+bc<0的解集.
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【題目】已知甲、乙、丙三位同學(xué)在某次考試中總成績列前三名,有,,三位學(xué)生對其排名猜測如下::甲第一名,乙第二名;:丙第一名;甲第二名;:乙第一名,甲第三名.成績公布后得知,,,三人都恰好猜對了一半,則第一名是__________.
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