Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a²=2b．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：x-y+m=0與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解得到a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A、B中點的坐標，代入圓的方程求得m的值．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2b}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓的標準方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2mx+m²-2=0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{3}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{2m}{3}$．
∴M（$-\frac{m}{3}，\frac{2m}{3}$）．
∵M在圓x²+y²=5上，∴（-$\frac{m}{3}$）²+（$\frac{2m}{3}$）²=5，
解得：m=±3．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．