Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，關(guān)于x的方程f²（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）
• C． （0，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）
• D． {$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$}

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用一元二次函數(shù)根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，則當(dāng)x=1時(shí) 函數(shù)取得極小值f（1）=e，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，此時(shí)f′（x）＞0恒成立，
此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），則t＞e時(shí)，t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)t=e時(shí)，t=f（x）有2個(gè)根
當(dāng)0＜t＜e時(shí)，t=f（x）有1個(gè)根，
當(dāng)t≤0時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
則f²（x）-2af（x）+a-1=0（m∈R）有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)為t²-2at+a-1=0（m∈R）有2個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
其中0＜t＜e，t=e，
當(dāng)t=e時(shí)，e²-2ae+a-1=0，
即a=$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，
此時(shí)滿足條件．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合以及根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．