Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+3）x+b（a≥0，b＞0），函數(shù)g（x）=lg（12-x²+4x）的定義域?yàn)锽．
（1）若b=2a+1，解關(guān)于a的不等式f（-1）＞8；
（2）若b=3時，關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為A，且A?B，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的一個零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，一個零點(diǎn)在（2，3）內(nèi)，求a-b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）若b=2a+1，關(guān)于a的不等式即 a+（a+3）+2a+1＞8，由此求得a的范圍．
（2）由函數(shù)g（x）的解析式求得它的定義域B=（-2，6），解關(guān)于x的不等式f（x）＜0，分類討論求得A，再結(jié)合A?B，求得a的范圍．
（3）若函數(shù)f（x）的一個零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，一個零點(diǎn)在（2，3）內(nèi)，則由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＞0 f(1)=-3+b＞0 f(2)=2a+b-6＜0 f(3)=6a+b-9＞0

，畫出可行域，求出目標(biāo)函數(shù)z=a-b的最優(yōu)解，可得a-b的取值范圍．

解答： 解：（1）若b=2a+1，關(guān)于a的不等式f（-1）＞8，
即 a+（a+3）+2a+1＞8，求得a＞1．
（2）由函數(shù)g（x）=lg（12-x²+4x），可得 12-x²+4x＞0，
求得-2＜x＜6，故B=（-2，6）．
∵b=3，關(guān)于x的不等式f（x）＜0，即 ax²-（a+3）x+3＜0，即 （ax-3）（x-1）＜0．
①當(dāng)a=0時，求得A={x|x＞1}，不滿足A?B．
②當(dāng)0＜a＜3時，

3

a

＞1，此時，A=（1，

3

a

），
由A?B，可得

3

a

≤6，求得 a≥

1

2

．
綜合可得，

1

2

≤a＜3．
③當(dāng)a=3時，

3

a

=1，此時，A=∅，滿足A?B．
④當(dāng)a＞3時，0＜

3

a

＜1，此時A=（

3

a

，1），滿足A?B．
綜合①②③④可得 a≥

1

2

．
（3）若函數(shù)f（x）的一個零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，一個零點(diǎn)在（2，3）內(nèi)，則由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

a＞0 f(1)=-3+b＞0 f(2)=2a+b-6＜0 f(3)=6a+b-9＞0

，
畫出可行域，如圖所示：△ABC的內(nèi)部區(qū)域，故當(dāng)直線z=a-b經(jīng)過點(diǎn)C（

3

4

，

9

2

）時，z=a-b取得最小值為-

15

4

，
當(dāng)直線z=a-b經(jīng)過點(diǎn)B（

3

2

，3）時，z=a-b取得最大值為-

3

2

，
故a-b的取值范圍（-

15

4

，-

3

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，以及簡單的線性規(guī)劃問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．