【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx﹣x2 , a∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x≥1時,f(x)≤0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)a>0,若A(x1 , y1),B(x2 , y2)為曲線y=f(x)上的兩個不同點(diǎn),滿足0<x1<x2 , 且x3∈
(x1 , x2),使得曲線y=f(x)在x=x3處的切線與直線AB平行,求證:x3< .
【答案】
(1)
解:∵函數(shù)f(x)=alnx﹣x2,x>0,a∈R,
∴f′(x)= ﹣2x= ;
當(dāng)a≤0時,∵x>0,∴f′(x)<0,∴f(x)在定義域上是減函數(shù);
當(dāng)a>0時,令f′(x)=0,即a﹣2x2=0,解得x= ,
∴x> 時,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù),
0<x< 時,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);
綜上,a≤0時,f(x)的減區(qū)間是(0,+∞),
a>0時,f(x)的減區(qū)間是( ,+∞),增區(qū)間是(0, );
(2)
解:根據(jù)(1)知,a≤0時,f(x)的減區(qū)間是(0,+∞),
令f(1)<0,則﹣x2<0恒成立,∴a≤0滿足題意;
a>0時,f(x)的減區(qū)間是( ,+∞),增區(qū)間是(0, );
當(dāng) ≤1,即0<a≤2時,f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),∴0<a≤2滿足題意;
當(dāng) >1,即a>2時,f(x)的最大值是f( ),令f( )≤0,
即aln ﹣ ≤0,解得a≤2e,即2<a≤2e滿足題意;
綜上,a的取值范圍是a≤2e;
(3)
解:當(dāng)a>0時,A(x1,y1),B(x2,y2)為曲線y=f(x)上的兩個不同點(diǎn),滿足0<x1<x2時,
∴x3∈(x1,x2),使得曲線y=f(x)在x=x3處的切線與直線AB平行,如圖所示;
∴kAB= = ,
又∵f′(x)= ﹣2x,
∴kl=f′(x3)= ﹣2x3.
∴ = ﹣2x3.
∵f′(x)= ﹣2x在(0,+∞)上是減函數(shù),
∴欲證:x3< ,即證明f′(x3)>f′( ),
即 > ﹣(x1+x2),
變形為 > ,
∴l(xiāng)n >2 ,
∴l(xiāng)n >2 ;
設(shè) =t(t>1),
則上述不等式等價于lnt>2 ,
即(t+1)lnt>2(t﹣1);
構(gòu)造函數(shù)g(t)=lnt+ ﹣1,
當(dāng)t>1時,g′(t)= ﹣ = ,
∴g′(t)在(1,+∞)上為增函數(shù);
∴g′(t)>g′(1)=0,
∴g(t)在t>1時是增函數(shù),
∴g(t)>g(1)=0;
∴g(t)>0在(1,+∞)上恒成立,
即(t+1)lnt>2(t﹣1)恒成立.
∴x3< 恒成立.
【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)來判斷f(x)的增減性,從而求出單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)在(1,+∞)上的最大值,令最大值小于或等于0,求出a的取值范圍;(3)當(dāng)a>0時,求出直線AB的斜率kAB , 由直線AB與切線平行,得出x3與x1+x2的關(guān)系式;構(gòu)造函數(shù)g(t),利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式x3< 恒成立即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
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【題目】某地區(qū)為了解70﹣80歲的老人的日平均睡眠時間(單位:h),隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查,下表是這50位老人睡眠時間的頻率分布表:
序號i | 分組 | 組中值(Gi) | 頻數(shù) | 頻率(Fi) |
1 | [4,5) | 4.5 | 6 | 0.12 |
2 | [5,6) | 5.5 | 10 | 0.20 |
3 | [6,7) | 6.5 | 20 | 0.40 |
4 | [7,8) | 7.5 | 10 | 0.20 |
5 | [8,9] | 8.5 | 4 | 0.08 |
在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中一部分計算見算法流程圖,則輸出的S的值為 .
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
(1)求角B的大;
(2)若b= ,c=1,求△ABC的面積.
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【題目】【2017廣東佛山二模】設(shè)函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明:.
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【題目】已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( 。
A.
B.1
C.
D.
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【題目】我們把焦點(diǎn)相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知F1、F2是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn),P是它們在第一象限的交點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2=60°時,這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是( )
A.
B.
C.
D.2
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【題目】如圖,設(shè)圓弧x2+y2=1(x≥0,y≥0)與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的扇形區(qū)域為M,過圓弧上中點(diǎn)A做該圓的切線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形區(qū)域為N.現(xiàn)隨機(jī)在區(qū)域N內(nèi)投一點(diǎn)B,若設(shè)點(diǎn)B落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P,則P的值為( 。
A.
B.
C.
D.
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