分析 (1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),平面BFC1的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積求解直線BC與平面BFC1所成角的正弦值.
(2)設(shè)$F(0,0,t)(0≤t≤4),\overrightarrow{BF}=(-2,0,t),\overrightarrow{B{C_1}}=(-2,2,4)$,求出平面BFC1的一個(gè)法向量,平面FC1C的一個(gè)法向量,利用向量的數(shù)量積求解二面角B-FC1-C的大。
解答 (本題滿分16分)
解:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),
(1)因?yàn)镕為中點(diǎn),則$F(0,0,2),\overrightarrow{BF}=(-2,0,2),\overrightarrow{B{C_1}}=(-2,2,4),\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$,
設(shè)$\overrightarrow n=(x,y,z)$是平面BFC1的一個(gè)法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=-2x+2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{B{C_1}}=-2x+2y+4z=0\end{array}\right.$,取x=1,則$\overrightarrow n=(1,-1,1)$,…(4分)
則$cos\left?{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow n}\right>=\frac{{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{-4}{{2\sqrt{2}•\sqrt{3}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,…(6分)
所以直線BC與平面BFC1所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
所以直線BC與平面BFC1所成角的余弦值為$\sqrt{1-{{({\frac{{\sqrt{6}}}{3}})}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…(8分)
(2)設(shè)$F(0,0,t)(0≤t≤4),\overrightarrow{BF}=(-2,0,t),\overrightarrow{B{C_1}}=(-2,2,4)$,
設(shè)$\overrightarrow n=(x,y,z)$是平面BFC1的一個(gè)法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BF}=-2x+tz=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{B{C_1}}=-2x+2y+4z=0\end{array}\right.$,取z=2,則$\overrightarrow n=(t,t-4,2)$…(11分
)$\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$是平面FC1C的一個(gè)法向量,
則$cos<\overrightarrow n,\overrightarrow{AB}>=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{2t}{{2\sqrt{{t^2}+{{(t-4)}^2}+4}}}$,…(14分)
∴$|{\frac{2t}{{2\sqrt{{t^2}+{{(t-4)}^2}+4}}}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,得$t=\frac{5}{2}$,即$AF=\frac{5}{2},F(xiàn){A_1}=\frac{3}{2}$,
所以當(dāng)$\frac{AF}{{F{A_1}}}=\frac{5}{3}$時(shí),二面角B-FC1-C的大小是45°. …(16分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法,直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.
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色盲 | 不色盲 | 合計(jì) | |
男 | 38 | 442 | 480 |
女 | 6 | 514 | 520 |
合計(jì) | 44 | 956 | 1000 |
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A. | 3≤a<5 | B. | 0<a<4 | C. | 4<a<5或0≤a≤3 | D. | 3<a<5或0≤a<3 |
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