Question

在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理時(shí)，我們知道楊輝三角中的數(shù)具有兩個(gè)性質(zhì)：①每一行中的二項(xiàng)式系數(shù)是“對(duì)稱”的，即第1項(xiàng)與最后一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，…；②圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和．我們也知道，性質(zhì)①對(duì)應(yīng)于組合數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：c_n^m=C_n^n-m．
（1）試寫(xiě)出性質(zhì)②所對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)；
（2）請(qǐng)利用組合數(shù)的計(jì)算公式對(duì)（1）中組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)作出證明．

Answer 1

（1）性質(zhì)②所對(duì)應(yīng)的組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)是
      

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n

   
（2）因?yàn)?span mathtag="math" >

C

mn+1

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

     

C

mn

+

C

m-1n

=

n!

m!(n-m)!

+

n!

(m-1)!(n+1-m)!

                 
=

n![(n+1-m)+m]

m!(n+1-m)!

=

n!(n+1)

m!(n+1-m)!

=

(n+1)!

m!(n+1-m)!

所以

C

mn+1

=

C

mn

+

C

m-1n