Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱相等，AA₁⊥底面ABC，E是AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BE⊥CB₁；
（Ⅱ）在AB上找一點(diǎn)P，使P-CBE的體積等于C-ABE體積的

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)CH，HB₁，由已知得CH⊥BE，BE⊥B₁H，由此能證明BE⊥CB₁．
（Ⅱ）

VP-CBE

VA-CBE

=

VP-CBE

VC-ABE

=

d1

d2

=

1

3

，根據(jù)相似三角形的關(guān)系得

BP

BA

=

1

3

，由此能求出點(diǎn)P在有向線段BA的三分之一處．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)CH，HB₁，
∵△ABC是等邊三角形，∴CH⊥BE，
∵四邊形AA₁B₁B是正方形，且E，H分別是AA₁，AB的中點(diǎn)，
∴BE⊥B₁H，
∵BE∩B₁H=D，∴BE⊥平面CHB₁，
∵CB₁?平面CHB₁，∴BE⊥CB₁．
（Ⅱ）解：∵V_C-ABE=V_A-CBE，
∴

VP-CBE

VA-CBE

=

VP-CBE

VC-ABE

=

d1

d2

，
其中d₁，d₂分別是點(diǎn)P，A到BE的距離，
∵

d1

d2

=

1

3

，∴根據(jù)相似三角形的關(guān)系得

BP

BA

=

1

3

，
∴BP=

1

3

BA，∴點(diǎn)P在有向線段BA的三分之一處．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)P的位置的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．