Question

如圖，是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據(jù)如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；
（?）試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：由題意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACDE
∴四棱錐B﹣ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面積S=6
∴，即所求幾何體的體積為4
（Ⅱ）證明：．M為DB的中點，取BC中點G，連接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG=DC∴MGAE，
∴四邊形AGME為平行四邊形，
∴EM∥AG，又AG平面ABC
∴EM∥平面ABC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N，
∴MN⊥平面BDE，點N即為所求的點，
∵△DMN∽△DCB∴
∴∴邊DC上存在點N，滿足DN=DC時，有NM⊥平面BDE．