Question

下列是有關(guān)直線與圓錐曲線的命題：
①過點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線y²=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有2條；
②過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線有且僅有兩條；
③過點(diǎn)（3，1）作直線與雙曲線

x2

4

-y2=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
④過雙曲線x2-

y2

2

=1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則滿足條件的直線l有3條；
⑤已知雙曲線x2-

y2

2

=1和點(diǎn)A（1，1），過點(diǎn)A能作一條直線l，使它與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A恰為線段PQ的中點(diǎn)．
其中說法正確的序號(hào)有

①②④

．（請(qǐng)寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析：①先驗(yàn)證點(diǎn)點(diǎn)（2，4）在拋物線y²=8x上，進(jìn)而根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得到答案．
②過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線AB斜率不存在時(shí)，求得橫坐標(biāo)之和等于2，不符合題意；進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．
③因?yàn)辄c(diǎn) （3，1）不在雙曲線的漸近線上，所以結(jié)合雙曲線的性質(zhì)與圖形可得過點(diǎn)（3，1）與雙曲線公有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)．
④雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，過拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，做出直線與雙曲線交點(diǎn)的縱標(biāo)，得到也是一條長度等于4的線段．
⑤先假設(shè)存在這樣的直線l，分類討論：斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，①當(dāng)k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范圍，再由M是線段AB的中點(diǎn)，則

x1+x2

2

=1，可求k，看是否矛盾，②當(dāng)k不存在時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)M但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在，綜合可求．

解答：解：①由題意可知點(diǎn)（2，4）在拋物線y²=8x上
故過點(diǎn)（2，4）且與拋物線y²=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只能是
i）過點(diǎn)（2，4）且與拋物線y²=8x相切；ii）過點(diǎn)（2，4）且平行與對(duì)稱軸．①故正確；
②過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
若直線AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于2，不適合．
故設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y=k（x-1）
代入拋物線y²=4x得，k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5，
∴

2(k2+2)

k2

=5，k²=

4

3

，則這樣的直線有且僅有兩條，故②正確；
③由題意可得：雙曲線x²-y²=3的漸近線方程為：y=±

1

2

x，
所以點(diǎn)（3，1）不是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，
所以過點(diǎn) （3，1）且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條，其中兩條是過點(diǎn) （3，1）并且與雙曲線相切的直線，另兩條過點(diǎn) （3，1）且平行于漸近線x+y=0的直線．故③錯(cuò)；
④∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，
∴過拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，
當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，
有3-

y2

2

=1，∴y=2，
∴直線AB的長度是4，
綜上可知有三條直線滿足|AB|=4，故④正確；
⑤設(shè)過點(diǎn)B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當(dāng)k存在時(shí)有

y=k(x-1)+1 x2- 1 2 y2=1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜

3

2

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）為線段AB的中點(diǎn)
∴

x1+x2

2

=1 即

2(k-k2)

2-k2

=1，∴k=2
當(dāng)k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（1）無實(shí)數(shù)解
故過點(diǎn)m（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且M為線段AB中點(diǎn)的直線不存在．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．故⑤錯(cuò)．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數(shù)形結(jié)合在實(shí)際問題中的應(yīng)用．解題的時(shí)候要注意討論直線斜率不存在時(shí)的情況，以免遺漏．