Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，已知2sin²$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA．
（I）求角A的大小；
（II）若$\frac{a}{c}$=2cosB，求$\frac{a}$的值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式，結合sin$\frac{A}{2}$≠0，可求tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，由A的范圍可求A的值．
（II）由已知利用余弦定理可得b=c，結合A=$\frac{2π}{3}$，利用正弦定理可求$\frac{a}$的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（I）∵2sin²$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA=2$\sqrt{3}$sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
又0＜A＜π，可得：0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
故sin$\frac{A}{2}$≠0，
故sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，A=$\frac{2π}{3}$．…7分
（II）由$\frac{a}{c}$=2cosB，得$\frac{a}{c}$=2×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
化簡得b=c，…10分
故在△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，b=c，
由此可得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\sqrt{3}$．…14分．

點評 本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．