【題目】已知函數(shù)f(x)=|xex+1|,關(guān)于x的方程f2(x)+2sinαf(x)+cosα=0有四個不等實根,sinα﹣cosα≥λ恒成立,則實數(shù)λ的最大值為( )
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣1
【答案】A
【解析】解:f(x)=|xex+1|= ,當(dāng)x≥0時,f′(x)=ex+1+xex+1≥0恒成立,所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù);
當(dāng)x<0時,f′(x)=﹣ex+1﹣xex+1=﹣ex+1(x+1),
由f′(x)=0,得x=﹣1,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)=﹣ex+1(x+1)>0,f(x)為增函數(shù),
當(dāng)x∈(﹣1,0)時,f′(x)=﹣ex+1(x+1)<0,f(x)為減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)=|xex+1|的極大值為f(﹣1)=|(﹣1)e0|=1,
極小值為:f(0)=0,
令f(x)=m,由韋達定理得:m1+m2=﹣2sinα,m1m2=cosα,
此時若sinα>0,則當(dāng)m1<0,且m2<0,
此時方程f2(x)+2sinαf(x)+cosα=0至多有兩個實根,
若sinα<0,則當(dāng)m1>0,且m2>0,
要使方程f2(x)+2sinαf(x)+cosα=0有四個實數(shù)根,
則方程m2+2sinαm+cosα=0應(yīng)有兩個不等根,
且一個根在(0,1)內(nèi),一個根在(1,+∞)內(nèi),
再令g(m)=m2+2sinαm+cosα,
因為g(0)=cosα>0,①
△=4sin2α﹣4cosα>0,則1﹣cos2α﹣cosα>0,②
則只需g(1)<0,即1+2sinα+cosα<0,
所以0<cosα<﹣1﹣2sinα,③
由①②解得:0<cosα< ,④
由③④得到:sinα< , <cosα< ,
所以sinα﹣cosα< ﹣ =﹣ ,
∴λ≤﹣ .
故選:A.
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【題目】(1)過點作直線使它被直線和截得的線段被點平分,求直線的方程;
(2)光線沿直線射入,遇直線后反射,求反射光線所在的直線方程.
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【題目】已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6.若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)=( )
A. 0.135 9 B. 0.135 8 C. 0.271 8 D. 0.271 6;
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【題目】某小組6個人排隊照相留念.
(1)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,有多少種不同的排法?
(2)若分成兩排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必須在前排,乙必須在后排,有多少種排法?
(3)若排成一排照相,甲、乙兩人必須在一起,有多少種不同的排法?
(4)若排成一排照相,其中甲必在乙的右邊,有多少種不同的排法?
(5)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相鄰有多少種排法?
(6)若排成一排照相,且甲不站排頭乙不站排尾,有多少種不同的排法?
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【題目】已知直線l過點P(2,),且傾斜角α=,曲線C: (θ為參數(shù)),直線l與曲線C相交于不同的兩點A,B.
(1)寫出直線的參數(shù)方程,及曲線C的普通方程;
(2)求線段AB的中點Q的坐標(biāo),及的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx﹣ )+2 sinωx,(ω>0)周期T∈[π,2π],x=π為函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,
(1)求ω;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】如圖,已知P(x0 , y0)是橢圓C: =1上一點,過原點的斜率分別為k1 , k2的兩條直線與圓(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 均相切,且交橢圓于A,B兩點.
(1)求證:k1k2=﹣ ;
(2)求|OA||OB|得最大值.
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【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 命題“若x2-4x+3=0,則x=3”的逆否命題是:“若x≠3,則x2-4x+3≠0”
B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件
C. 若p且q為假命題,則p、q均為假命題
D. 命題p:“x0∈R使得+x0+1<0”,則p:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
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【題目】函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.(kπ﹣ ,kπ+ ,),k∈z
B.(2kπ﹣ ,2kπ+ ),k∈z
C.(k﹣ ,k+ ),k∈z
D.( ,2k+ ),k∈z
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