Question

18．已知命題：p：?x∈（0，+∞），2lnx-x＞ax成立；命題q：雙曲線x²+$\frac{y^2}{a}$=1的離心率e∈（1，2），若（?p）∨（?q）為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可知：$a＜\frac{2lnx-x}{x}$．設(shè)$f（x）=\frac{2lnx-x}{x}（{x＞0}）$，?原命題等價(jià)于a＜f（x）_max，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）最大值，即可求得a的取值范圍，由橢圓的離心率公式求得橢圓的離心率取值范圍，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求得a的取值范圍，由（?p）∨（?q）為假命題，即p真q真，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：命題p：2lnx-x＞ax，分參得$a＜\frac{2lnx-x}{x}$．
設(shè)$f（x）=\frac{2lnx-x}{x}（{x＞0}）$，?x∈（0，+∞），2lnx-x＞ax成立，等價(jià)于a＜f（x）_max，
${f^/}（x）=\frac{{2（{1-lnx}）}}{x^2}$，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{2}{e}$-1，
故a＜$\frac{2}{e}$-1，①
命題q，雙曲線x²+$\frac{y^2}{a}$=1的離心率e∈（1，2），可知a＜0，離心率e=$\sqrt{1-a}$，
∵$1＜\sqrt{1-a}＜2$，
∴-3＜a＜0．  ②…（10分）
若（?p）∨（?q）為假命題，則p真q真，
結(jié)合①和②知，$-3＜a＜\frac{2}{e}-1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查簡(jiǎn)單的邏輯連接詞的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查分離參數(shù)法及構(gòu)造法求未知數(shù)的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．