Question

設(shè)雙曲線C₁:=1(a>0,b>0)的離心率為e,右準(zhǔn)線為l,右焦點為F,l與C₁的兩條漸近線分別交于P、Q兩點,△PQF為等邊三角形,且C₁過點(1,0).又設(shè)以F為左焦點,l為左準(zhǔn)線的橢圓為C₂.

(1)求C₁的方程;

(2)求離心率為的橢圓C₂的方程;

(3)設(shè)C₂的短軸端點為B,求BF中點的軌跡方程.

Answer 1

(1) -=1.

(2) (x-)²+=1.

(3)4y²-3x+6=0,這就是所求BF中點M的軌跡方程.

解析:

(1)∵C₁過點(1,0)且雙曲線方程為=1(a>0,b>0),

∴a=1雙曲線方程為x²-=1,右準(zhǔn)線l:x=交兩條漸近線于點P、Q.可知P、Q關(guān)于x軸對稱.

如下圖所示,且P(,),Q(,-),而△PQF為正三角形,

∴|PQ|·=|NF|,

即·=c-b=c²-1,

即c²=b+1.                                                              ①

又c²=1+b²,                                                                 ②

由①②得b=,c=2.

故C₁:-=1.

(2)由(1)知橢圓離心率e₂===.

雙曲線的左焦點F(2,0),左準(zhǔn)線l:x=.

根據(jù)橢圓的第二定義得

C₂:=.

兩邊平方,化簡得(x-)²+=1.

(3)設(shè)BF中點M(x,y),由F(2,0),

∴B(2x-2,2y).

由橢圓的第二定義=e₂,即=e₂,

而e₂==.

兩式消去e₂,化簡得

4y²-3x+6=0,這就是所求BF中點M的軌跡方程.