Question

11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓x²+2y²=2相交于不同的點(diǎn)A，B，求△OAB面積S的最大值．

Answer 1

分析 由題意設(shè)直線l的方程以及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用直線方程與橢圓方程組成方程組，消去y，由判別式△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系和基本不等式，即可求出△OAB面積的最大值．

解答 解：由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，以及點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁、x₂是方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，
所得方程（2k²+1）x²+8kx+6=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
故有△=（8k）²-24（2k²+1）=8（2k²-3），
且x₁+x₂=-$\frac{8k}{{2k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{6}{{2k}^{2}+1}$；
由題意可知△OAB面積為
S=|S_△OPA-S_△OPB|=|$\frac{1}{2}$|OP|•|x₁|-$\frac{1}{2}$|OP|•|x₂||=||x₁|-|x₂||；
由x₁x₂=$\frac{6}{{2k}^{2}+1}$＞0，
知S=||x₁|-|x₂||=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$，
從而可得：
S=$\sqrt{{（-\frac{8k}{{2k}^{2}+1}）}^{2}-4•\frac{6}{{2k}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{4}•\sqrt{{2k}^{2}-3}}{{2k}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{2}}{{2k}^{2}+1}$•$\frac{4+（{2k}^{2}-3）}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當(dāng)且僅當(dāng)2k²-3=4（此時(shí)的實(shí)數(shù)k滿足△=8（2k²-3）＞0）時(shí)，
S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角形面積的計(jì)算問(wèn)題以及根與系數(shù)的關(guān)系和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．