【題目】已知函數(shù)

(1)若恒成立,求的取值集合;

(2)在函數(shù)的圖像上取定點,記直線AB的斜率為K,證明:存在,使恒成立;

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)對一切x0fx)≤恒成立,即對一切x0,恒成立,構(gòu)造新函數(shù),求出函數(shù)的最值,即可求得結(jié)論;

(2)要證明存在x0x1,x2),使f′(x0)=k成立,只要證明f′(x)﹣k0在(x1,x2)內(nèi)有解即可.

(1)解:對一切x0fx)≤恒成立,

即對一切x0,恒成立,

,

g′(x>0,可得0x;令g′(x<0,可得x,

x時,gx)取得最大值g

;

上單調(diào)遞減,在在上單調(diào)遞增,

,又,

的取值集合

(2)證明:由題意,k

要證明存在x0x1x2),使f′(x0)=k成立,只要證明f′(x)﹣k0在(x1x2)內(nèi)有解即可

hx)=f′(x)﹣k,只要證明hx)在(x1x2)內(nèi)存在零點即可

hx)在(x1,x2)內(nèi)是減函數(shù),只要證明hx1)>0,hx2)<0

即證0,0

Ft)=t1lntt0),∵F′(t)=1,∴函數(shù)在(01)上單調(diào)遞減,在(1+∞)上單調(diào)遞增

∴函數(shù)在t1時,取得最小值0,∴Ft)≥0

001

0,0

∴結(jié)論成立.

練習冊系列答案
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