【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣mex(m∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≤e2xx∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1≠x2)是函數(shù)f(x)的兩個兩點(diǎn),求證x1+x2>2.

【答案】
(1)解:f′(x)=1﹣mex

當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù);

當(dāng)m>0時(shí),由f′(x)>0,得x<﹣lnm,∴f(x)在(﹣∞,﹣lnm)上為增函數(shù);

由f′(x)<0,得x>﹣lnm,∴f(x)在(﹣lnm,+∞)上為減函數(shù)


(2)解:f(x)≤e2xm≥ ,

設(shè)g(x)= ,則g′(x)=

當(dāng)x<0時(shí),1﹣e2x>0,g′(x)>0,則g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0時(shí),1﹣e2x<0,g′(x)<0,則g(x)在(0,﹣∞)上單調(diào)遞減.

∴g(x)max=g(0)=﹣1,則m≥﹣1


(3)證明:f(x)有兩個不同零點(diǎn)x1,x2,則 ,

因此 ,即m=

要證x1+x2>2,只要證明 >2,即證 >2.

不妨設(shè)x1>x2,記t=x1﹣x2,則t>0,et>1,

因此只要證明 >2,即(t﹣2)et+t+2>0.

記h(t)=(t﹣2)et+t+2(t>0),h′(t)=(t﹣1)et+1,h″(t)=tet

當(dāng)t>0時(shí),h″(t)=tet>0,∴h′(t)>h′(0)=0,

則h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(t)>h(0)=0,

即(t﹣2)et+t+2>0成立.

∴x1+x2>2.


【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1﹣mex . 當(dāng)m≤0時(shí),則f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù);當(dāng)m>0時(shí),由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性;(2)f(x)≤e2xm≥ ,設(shè)g(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最大值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍可求;(3)由f(x)有兩個不同零點(diǎn)x1 , x2 , 得 ,兩式作差可得 ,即m= .要證x1+x2>2,只要證明 >2,即證 >2.不妨設(shè)x1>x2 , 記t=x1﹣x2 , 則t>0,et>1,轉(zhuǎn)化為(t﹣2)et+t+2>0.構(gòu)造函數(shù)h(t)=(t﹣2)et+t+2(t>0),利用導(dǎo)數(shù)證明(t﹣2)et+t+2>0成立.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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