Question

設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：

(1) ab＋bc＋ca≤；

(2) ≥1.

Answer 1

證明：(1) 由a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ca，得a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca.

由題設(shè)得(a＋b＋c)²＝1，即a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2) 因?yàn)?sub>＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

即≥a＋b＋c.

所以≥1.