Question

某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間T（單位：年）有關．若T≤1，則銷售利潤為0元；若1＜T≤3，則銷售利潤為100元；若T＞3，則銷售利潤為200元．設每臺該種電器的無故障使用時間T≤1，1＜T≤3及T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x₂-15x+a=0的兩個根，且P₂=P₃．
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）記ξ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求ξ的分布列；
（3）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的平均值．

Answer 1

分析：（1）由已知得p₁+p₂+p₃=1，p₂=p₃，p₁+2p₂=1，再由p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，能求出p1=

1

5

，p2=p3=

2

5

．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，p（ξ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，p（ξ=100）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，p（ξ=200）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，p（ξ=300）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，p（ξ=400）=

2

5

×

2

5

=

4

25

．由此能求出隨機變量ξ的分布列．
（3）由ξ的分布列能求出銷售利潤總和的平均值Eξ．

解答：解：（1）由已知得p₁+p₂+p₃=1，
∵p₂=p₃，∴p₁+2p₂=1，
∵p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，
∴p1+p2=

3

5

，
∴p1=

1

5

，p2=p3=

2

5

．
（2）ξ的可能值是0，100，200，300，400，
p（ξ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
p（ξ=100）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
p（ξ=200）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
p（ξ=300）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
p（ξ=400）=

2

5

×

2

5

=

4

25

．
∴隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

（3）銷售利潤總和的平均值為Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240．
∴銷售兩臺這種家用電器的利潤總和的平均值為240元．

點評：本題考查概率的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地利用離散型隨機變量的分布列和期望進行解題．