Question

16．設(shè)f（n）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，由f（1）=1＞$\frac{1}{2}$，f（3）＞1，f（7）＞$\frac{3}{2}$，f（15）＞2，…
（1）你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；
（2）是否存在正數(shù)T，使對任意的正整數(shù)n，有f（n）＜T成立？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$．利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明；
（2）由（1）可知f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由f（1）=1＞$\frac{1}{2}$，f（3）＞1，f（7）＞$\frac{3}{2}$，f（15）＞2，可得f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$．
證明如下：①當n=1時，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當n=k時成立，即 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＞$\frac{k}{2}$．
當n=k+1時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$
＞$\frac{k+1}{2}$=右邊．
即當n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②知，f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$；
（2）由（1）可知f（2ⁿ-1）＞$\frac{n}{2}$，所以不存在正數(shù)T，使對任意的正整數(shù)n，有f（n）＜T成立．

點評 本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．