Question

16．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F₂，A點在橢圓上，離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF₂與x軸垂直，且|AF₂|=$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點A在第一象限，過點A作直線l，與橢圓交于另一點B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出橢圓方程，
（2）然后求出和OA平行且和橢圓相切的直線方程，把切點到直線OA的距離轉化為原點O到切線的距離，則三角形AOB面積的最大值可求．

解答 解（1）：由題意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{^{2}}{a}=\sqrt{2}$，a²=b²+c²
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（2）要使△AOB面積最大，則B到OA所在直線距離最遠．
設與OA平行的直線方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+b$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$消去y并化簡得．x²+$\sqrt{2}b$x+b²-4=0．
由△=0得b=±2$\sqrt{2}$，
不妨取b＞0，
∴與直線OA平行，且與橢圓相切且兩直線方程為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
則B到直線OA的距離等于O到直線：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
的距離d，d=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，又|OA|=$\sqrt{6}$，
△AOB面積的最大值s=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．