Question

20．已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+1，其中a∈R．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）a＞0時(shí)，f（x）=2x³-3ax²+1，x＞0，
f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）由（1）得：a＞0時(shí)，
f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（a）=-a³+1；
a≤0時(shí)，f（x）在[0，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．