Question

動圓C過定點F，且與直線相切，其中p＞0．設(shè)圓心C的軌跡Γ的程為F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲線Γ上的一定點P（x，y）（y≠0），方向向量的直線l（不過P點）與曲線Γ交與A、B兩點，設(shè)直線PA、PB斜率分別為k_PA，k_PB，計算k_PA+k_PB；
（3）曲線Γ上的兩個定點P（x，y）、，分別過點P，Q作傾斜角互補的兩條直線PM，QN分別與曲線Γ交于M，N兩點，求證直線MN的斜率為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義即可得出軌跡方程；
（2）由直線l的方向向量可設(shè)直線l的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用斜率計算公式和點P在拋物線上滿足的條件，即可得出k_PA+k_PB；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得到k_MN．設(shè)MP的直線方程為y-y=k（x-x）與拋物線聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，同理由直線QN的方程與拋物線的方程聯(lián)立也得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入k_MN即可證明．
解答：解：（1）過點C作直線的垂線，垂足為N，
由題意知：|CF|=|CN|，即動點C到定點F與定直線的距離相等，
由拋物線的定義知，點C的軌跡為拋物線，
其中為焦點，為準(zhǔn)線，
所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）；       
（2）設(shè) A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
不過點P的直線l方程為，
由得y²+2yy-2yb=0，
則y₁+y₂=-2y，

=
=
==0．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則==（***）                    
設(shè)MP的直線方程為為y-y=k（x-x）與曲線y²=2px的交點P（x，y），M（x₁，y₁）．
由，的兩根為y，y₁
則，∴
同理，得
∴，
代入（***）計算得．是定值，命題得證
點評：熟練掌握拋物線的定義、直線l的方向向量、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程及得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式和點P在拋物線上滿足的條件等是解題的關(guān)鍵．