Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A，C上頂點(diǎn)為B，過F，B，C三點(diǎn)作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）若FC是⊙P的直徑，求橢圓的離心率；
（2）若⊙P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的方程知a=1，點(diǎn)B（0，b），C（1，0），設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），由FC是⊙P的直徑，知FB⊥BC．由，知b²=c=1-c²，c²+c-1=0．由此能求出橢圓的離心率．
（2）由P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，知圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為．由BC的中點(diǎn)為，k_BC=-b，知BC的垂直平分線方程為，所以．由P（m，n）在直線x+y=0上，知b=c．由此能求出橢圓的方程．
解答：解：（1）由橢圓的方程知a=1，∴點(diǎn)B（0，b），C（1，0），
設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），（1分）
∵FC是⊙P的直徑，
∴FB⊥BC
∵
∴（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0（3分）
解得（5分）
∴橢圓的離心率（6分）
（2）解：∵⊙P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，
∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為①（7分）
∵BC的中點(diǎn)為，k_BC=-b
∴BC的垂直平分線方程為②（9分）
由①②得，
即（11分）
∵P（m，n）在直線x+y=0上，
∴⇒（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0
∴b=c（13分）
由b²=1-c²得
∴橢圓的方程為x²+2y²=1（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．