Question

如圖，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面邊長為2，側棱長為3，E為BC的中點，FG分別為CC′、DD′上的點，且CF=2GD=2．求：
（Ⅰ）C′到面EFG的距離；
（Ⅱ）DA與面EFG所成的角的正弦值；
（III）在直線BB'上是否存在點P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出點P的位置，若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系
則E（1，2，0），F（0，2，2），G（0，0，1）
∴=（-1，0，2），=（0，-2，-1），
設=（x，y，z）為面EFG的法向量，則=0，=0，
?x=2z，z=-2y，取y=1，
得=（-4，1，-2）…（4分）
（Ⅰ）∵=（0，0，-1），
∴C’到面EFG的距離為…（6分）
（Ⅱ）=（2，0，0），設DA與面EFG所成的角為θ，
則=． …（10分）
（ III）存在點P，在B點下方且BP=3，此時P（2，2，-3）
=（2，2，-3），∴=0，∴DP∥面EFG．…（14分）
分析：（I）以D為原點建立空間直角坐標系，并求出面EFG的一個法向量，及面EFG上任一點與C′連線的方向向量，代入公式中，即得到C′到面EFG的距離；
（Ⅱ）求出DA的方向向量，結合（I）中所求的面EFG的法向量的坐標，代入向量夾角公式，即可得到DA與面EFG所成的角的正弦值；
（III）設出P點坐標，求出DP的方向向量，根據DP∥面EFG，則=0，可以構造關于P點坐標的方程組，解方程組，即可得P點坐標．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面平行的判定，點到平面的距離計算，其中由于三個小題的結論均與面EFG有關，故求出平面EFG的法向量是解答本題的關鍵．