Question

16．二次函數(shù)f（x）開口向上，且滿足f（x+1）=f（3-x）恒成立．已知它的兩個(gè)零點(diǎn)和頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正三角形．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在[t，t+3]的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）的對(duì)稱軸為x=2，從而得出f（x）的零點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）討論對(duì)稱軸和區(qū)間[t，t+3]的位置關(guān)系，得出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性計(jì)算最小值．

解答 解：（1）∵f（x+1）=f（3-x），∴f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{x+1+3-x}{2}$=2，
∵f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)和頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正三角形，且f（x）開口向上，
∴f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為1，3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\sqrt{3}$），
設(shè)f（x）=a（x-1）（x-3），則f（2）=-$\sqrt{3}$，
即-a=-$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$（x-1）（x-3）．
（2）若2≤t，則f（x）在[t，t+3]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（t）=$\sqrt{3}$（t-1）（t-3），
若t＜2＜t+3，即-1＜t＜2時(shí)，f（x）在[t，t+3]上先減后增，
∴f_min（x）=f（2）=-$\sqrt{3}$，
若2≥t+3，即t≤-1時(shí)，f（x）在[t，t+3]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（t+3）=$\sqrt{3}$t（t+2）．
綜上，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}t（t+2），t≤-1}\\{-\sqrt{3}，-1＜t＜2}\\{\sqrt{3}（t-1）（t-3），t≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的最值計(jì)算，屬于中檔題．