【題目】如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,,M的中點(diǎn),的中點(diǎn),點(diǎn)上,且滿足.

1)證明:.

2)當(dāng)取何值時(shí),直線與平面所成的角最大?并求該角最大值的正切值.

3)若平面與平面所成的二面角為,試確定P點(diǎn)的位置.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)見解析

【解析】

1)以AB,AC,分別為,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo),易判斷,即;(2)設(shè)出平面ABC的一個(gè)法向量,我們易表達(dá)出,然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,求出滿足條件的值,進(jìn)而求出此時(shí)的正線值;(3)平面PMN與平面ABC所成的二面角為,則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值為,代入向量夾角公式,可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的方程,解方程即可求出對(duì)應(yīng)值,進(jìn)而確定出滿足條件的點(diǎn)P的位置.

1)證明:如圖,以AB,AC,分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系

,,

從而,

,

所以

2)平面ABC的一個(gè)法向量為

(※).

,當(dāng)最大時(shí),最大,無意義,除外,

由(※)式,當(dāng)時(shí),

3)平面ABC的一個(gè)法向量為

設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為,

由(1)得

,

解得,令,得,

∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為,

解得

故點(diǎn)P的延長(zhǎng)線上,且

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為

求橢圓的方程;

過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn),交于點(diǎn) (在第一象限),且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)軸的垂線交于另一點(diǎn),延長(zhǎng)于點(diǎn).

設(shè)直線的斜率分別為,證明為定值;

求直線的斜率的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果你留心使會(huì)發(fā)現(xiàn),汽車前燈后的反射鏡呈拋物線的形狀,把拋物線沿它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會(huì)形成一個(gè)拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡形狀,這種形狀使車燈既能夠發(fā)出明亮的、照射很遠(yuǎn)的平行光束,又能發(fā)出較暗的,照射近距離的光線.我們都知道常規(guī)的前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,明亮的光束,是由位于拋物面形狀反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,燈泡位于拋物面的焦點(diǎn)上,燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射形成平行光束,再經(jīng)過配光鏡的散射、偏轉(zhuǎn)作用,以達(dá)到照亮路面的效果,這樣的燈光我們通常稱為遠(yuǎn)光燈:而較暗的光線,不是由反射鏡焦點(diǎn)的光源射出的,光線的行進(jìn)與拋物線的對(duì)稱軸不平行,光線只能向上和向下照射,所以照射距離并不遠(yuǎn),如果把向上射出的光線遮。嚐艟椭荒馨l(fā)出向下的、射的很近的光線了.請(qǐng)用數(shù)學(xué)的語言歸納表達(dá)遠(yuǎn)光燈的照明原理,并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了選拔學(xué)生參加全市中學(xué)生物理競(jìng)賽,學(xué)校先從高三年級(jí)選取60名同學(xué)進(jìn)行競(jìng)賽預(yù)選賽,將參加預(yù)選賽的學(xué)生成績(jī)(單位:分)按范圍,,分組,得到的頻率分布直方圖如圖:

(1)計(jì)算這次預(yù)選賽的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(2)若對(duì)得分在前的學(xué)生進(jìn)行校內(nèi)獎(jiǎng)勵(lì),估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線;

(3)若這60名學(xué)生中男女生比例為,成績(jī)不低于60分評(píng)估為“成績(jī)良好”,否則評(píng)估為“成績(jī)一般”,試完成下面列聯(lián)表,是否有的把握認(rèn)為“成績(jī)良好”與“性別”有關(guān)?

成績(jī)良好

成績(jī)一般

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附:,

臨界值表:

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,圓.

(1)若過拋物線的焦點(diǎn)的直線與圓相切,求直線方程;

(2)在(1)的條件下,若直線交拋物線,兩點(diǎn),軸上是否存在點(diǎn)使為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了有關(guān)特殊幾何體的定義:陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,塹堵指底面是直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.

1)某塹堵的三視圖,如圖1,網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,求該塹堵的體積;

2)在塹堵中,如圖2,,若,當(dāng)陽馬的體積最大時(shí),求二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.

(1)求證:直線AC垂直于直線SD;

(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng),求證;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都不為零,其前n項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列滿足,其中t為正整數(shù).

若不等式對(duì)任意都成立,求首項(xiàng)的取值范圍;

若首項(xiàng)是正整數(shù),則數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積?若是,請(qǐng)給出一種表示方式;若不是,請(qǐng)說明理由.

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