Question

設函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），

1

9

≤x≤9．
（Ⅰ）若m=log₃x，求m取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最值，并給出最值時對應的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)給出的函數(shù)的定義域，直接利用對數(shù)函數(shù)的單調性求m得取值范圍；
（Ⅱ）把f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）利用對數(shù)式的運算性質化為含有m的二次函數(shù)，然后利用配方法求函數(shù)f（x）的最值，并由此求出最值時對應的x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

1

9

≤x≤9，m=log₃x為增函數(shù)，
∴-2≤log₃x≤2，即m取值范圍是[-2，2]；
（Ⅱ）由m=log₃x得：f（x）=log₃（9x）•log₃（3x）
=（2+log₃x）•（1+log₃x）
=(2+m)•(1+m)=(m+

3

2

)2-

1

4

，
又-2≤m≤2，∴當m=log3x=-

3

2

，即x=

3

9

時f（x）取得最小值-

1

4

，
當m=log₃x=2，即x=9時f（x）取得最大值12．

點評：本題考查了復合函數(shù)的單調性，考查了換元法，訓練了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．