Question

19．△ABC中，a、b、c分別為A、B、C所對的邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B=30°，△ABC的面積為 $\frac{3}{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 由等差中項的性質(zhì)列出方程后，兩邊平方并化簡，由條件和三角形的面積公式求出ac的值，結(jié)合方程和余弦定理求出b的值．

解答 解：因為a、b、c成等差數(shù)列，所以2b=a+c，
兩邊平方得：a²+c²=4b²-2ac，
因為△ABC的面積為$\frac{3}{2}$，且B=30°，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin B=$\frac{1}{4}$ac=$\frac{3}{2}$，得ac=6．
代入得，a²+c²=4b²-12．
由余弦定理得，cos B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
=$\frac{4^{2}-12-^{2}}{2×6}$=$\frac{^{2}-4}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得b²=4+2$\sqrt{3}$=$（1+\sqrt{3}）^{2}$，
又b＞0，所以b=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理，等差中項的性質(zhì)，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．