Question

（本小題滿分22分）

將m位性別相同的客人，按如下方法入住A₁、A₂、…、A _n共n個房間。首先，安排1位客人和余下的客人的入住房間A₁；然后，從余下的客人中安排2位和再次余下的客人的入住房間A₂；依此類推，第幾號房間就安排幾位客人和余下的客人的入住；這樣，最后一間房間A _n正好安排最后余下的n位客人。試求客人的數目和客房的數目，以及每間客房入住客人的數目。

 

Answer 1

解析：設安排完第k號客房A _k后還剩下a _k位客人，則a₀=m，a_n－1= n…(4分)

  因為第k號客房A _k入住的客人數為，

所以，即……………………(8分)

   變形得．

   這表明數列b _k=a _k+6k－36是等比數列，公比q=，

   其中b₀=a ₀－36=m－36，b_n－l= a _n－l+6 (n－1)－36=7n一42．  ……(12分)

代入通項公式得7n一42=，

即 ………………(16分)

由于m為正整數， 并且與互質，故|(n一6)，

但

   解得n=6，從而m=36．………………………………………………(20分)

   由此可知，客房A₁入住l+= 6位客人；客房A₂入住2+ =6位客人；客房A₃入住3+=6位客人；客房A₄入住4+ =6位客人；客房A₅人住5+=6位客人；最后一間客房人住了剩下的6位客人．

    綜上可知，共有客人36人，客房6間，每間客房均入住6位客人．…(22分)