Question

16．已知a＞1，設命題P：a（x-2）+1＞0，命題Q：（x-1）²＞a（x-2）+1．試求使得P、Q都是真命題的x的集合．

Answer 1

分析 由a的范圍分別求解一元一次不等式及一元二次不等式，然后分1＜a＜2，a=2及a＞2三種情況討論求得使得P、Q都是真命題的x的集合．

解答 解：∵a＞1，依題意，求使得P：a（x-2）+1＞0，Q：（x-1）²＞a（x-2）+1都是真命題的x的集合為P，Q，
∴$P=\left\{{x\left|{x＞2-\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，Q={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}={x|（x-2）（x-a）＞0}．
①當1＜a＜2時，則有$\left\{\begin{array}{l}{x＞2-\frac{1}{a}}\\{x＞2或x＜a}\end{array}\right.$，而$a-（2-\frac{1}{a}）=a+\frac{1}{a}-2＞0$，∴$a＞2-\frac{1}{a}$，
即當1＜a＜2時，使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x＞2或2-$\frac{1}{a}$＜x＜a}；
②當a=2時，可得使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x＞$\frac{3}{2}$且x≠2}；
③當a＞2時，則有$\left\{\begin{array}{l}{x＞2-\frac{1}{a}}\\{x＞a或x＜2}\end{array}\right.$，此時使得P、Q都是真命題的x的集合為{x|x＞a或2-$\frac{1}{a}$＜x＜2}．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，考查數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．