Question

如圖，橢圓C₀：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓C1：x2+y2=

t

2 1

，b＜t₁＜a．點(diǎn)A₁，A₂分別為C₀的左，右頂點(diǎn)，C₁與C₀相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AA₁與直線A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓C2：x2+y2=

t

2 2

與C₀相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：

t

2 1

+

t

2 2

為定值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出線A₁A的方程、直線A₂B的方程，求得交點(diǎn)滿足的方程，利用A在橢圓C₀上，化簡(jiǎn)即可得到M軛軌跡方程；
（II）根據(jù)矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，可得A，A′坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用A，A′均在橢圓上，即可證得

t

2 1

+

t

2 2

=a²+b²為定值．

解答：（I）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），則直線A₁A的方程為y=

y1

x1+a

（x+a）①
直線A₂B的方程為y=

-y1

x1-a

（x-a）②
由①×②可得：y²=

-y12

x12-a2

（x²-a²）③
∵A（x₁，y₁）在橢圓C₀上，
∴

x12

a2

+

y12

b2

=1
∴y₁²=b²（1-

x12

a2

）
代入③可得：y²=

-b2(1- x12 a2 )

x12-a2

（x²-a²）
∴

x2

a2

-

y2

b2

=1（x＜-a，y＜0）；
（II）證明：設(shè)A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴x₁²y₁²=x₃²y₃²
∵A，A′均在橢圓上，
∴b²x₁²（1-

x12

a2

）=b²x₃²（1-

x32

a2

）
∴x₁²-

x14

a2

=x₃²-

x34

a2

∴a²（x₁²-x₃²）=x₁⁴-x₃⁴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．
∴x₁²+x₃²=a²
∵y₁²=b²（1-

x12

a2

），y₃²=b²（1-

x32

a2

）
∴y₁²+y₃²=b²
∴

t

2 1

+

t

2 2

=a²+b²為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查定值問題的證明，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．