Question

過點O（0，0）的圓C與直線y=2x-8相切于點P（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上是否存在兩點M，N關(guān)于直線y=kx-1對稱，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線MN的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知得圓心經(jīng)過點P（4，0）、且與y=2x-8垂直的直線y=-

1

2

x+2上，它又在線段OP的中垂線x=2上，求得圓心C（2，1），半徑為

5

，可得圓C的方程．
（2）假設(shè)存在兩點M，N關(guān)于直線y=kx-1對稱，則y=kx-1通過圓心C（2，1），求得k=1，設(shè)直線MN為y=-x+b，代入圓的方程，利用韋達(dá)定理及

OM

•

ON

=0，求得b的值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得圓心經(jīng)過點P（4，0）、
且與y=2x-8垂直的直線y=-

1

2

x+2上，
它又在線段OP的中垂線x=2上，所以求得圓心C（2，1），
半徑為

5

，
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．…（6分）
（2）假設(shè)存在兩點M，N關(guān)于直線y=kx-1對稱，
則y=kx-1通過圓心C（2，1），求得k=1，
所以設(shè)直線MN為y=-x+b，代入圓的方程得
2x²-（2b+2）x+b²-2b=0．
設(shè)M（x₁，-x₁+b），N（x₂，-x₂+b），
又

OM

•

ON

=x₁•x₂+（b-x₁）（b-x₂）=2x₁•x₂-b（x₁+x₂）=b²-3b=0，
解得b=0或b=3，這時△＞0，符合條件，
所以存在直線MN，它的方程為 y=-x，或y=-x+3符合條件．…（14分）

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．