A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域,根據(jù)數(shù)形結合求確定當∠PAB最大時點P的位置,利用余弦函數(shù)的倍角公式,即可求出結論.
解答 解:作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤3\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域D,如圖所示,
要使∠APB最大,
則∠OPB最大,
∵sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{OP}$,
∴只要OP最小即可.
則P到圓心的距離最小即可,
由圖象可知當OP垂直直線3x+4y-10=0,此時|OP|=$\frac{|-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2,|OA|=1,
設∠APB=α,則∠APO=$\frac{α}{2}$,即sin$\frac{α}{2}$=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$,
此時cosα=1-2sin2$\frac{α}{2}$=1-2×($\frac{1}{2}$)2=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
即cos∠APB=$\frac{1}{2}$.
故選:D.
點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵,要求熟練掌握兩角和的倍角公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{2}$-1 | B. | $\sqrt{2}$+1 | C. | $\sqrt{3}$+1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $[{-\frac{1}{2},+∞})$ | B. | $[{-\frac{3}{2},+∞})$ | C. | [-1,+∞) | D. | [-2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 8 | B. | 6 | C. | 3 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 若p∧q為假命題,則p、q均為假命題 | |
B. | 命題“若x2=1,則x=1”為真命題 | |
C. | 命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題 | |
D. | 命題“存在一個實數(shù)x,使不等式x2-3x+6<0成立”為真命題 |
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