Question

（本小題滿分14分）

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。

（I）求實(shí)數(shù)b的值；

（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（III）當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m<M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由。

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14分。

解：（I）由

（II）由（I）可得

從而

，故：

（1）當(dāng)

（2）當(dāng)

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），

單調(diào)遞減區(qū)間為。

（III）當(dāng)a=1時(shí)，

由（II）可得，當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，的變化情況如下表：

		-	0	+
		單調(diào)遞減	極小值1	單調(diào)遞增	2

又的值域?yàn)閇1，2]。

據(jù)經(jīng)可得，若，則對(duì)每一個(gè)，直線y=t與曲線都有公

共點(diǎn)。

并且對(duì)每一個(gè)，直線與曲線都沒有公共點(diǎn)。

綜上，當(dāng)a=1時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m=1，最大的實(shí)數(shù)M=2，使得對(duì)每一個(gè)，直線y=t

與曲線都有公共點(diǎn)。