Question

【題目】已知正整數(shù)滿足，.令， ， .對(duì)任意的，記，其中，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，表示集合中元素的個(gè)數(shù).證明：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

顯然，為奇數(shù)，為偶數(shù)，其中，為歐拉函數(shù).

由歐拉定理，知對(duì)任意的，有

于是，對(duì)集合的任意子集有

.①

首先證明：，且均為奇數(shù).

由，知集合在數(shù)軸上關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且、.

將集合中連續(xù)的正整數(shù)稱為一段，則由的對(duì)稱性知其可分成奇數(shù)段，每段中均有一個(gè)數(shù)屬于集合，也有一個(gè)數(shù)屬于集合.

則為奇數(shù)，且集合與關(guān)于對(duì)稱，即.

故.

其次證明：對(duì)任意的，存在唯一的，使得.

考慮.

顯然，.

若，則，矛盾.

故模兩兩不同余，其中恰有一個(gè)數(shù)模余1.

又，故集合中其余數(shù)可兩兩配對(duì)，每對(duì)的積模余1.

從而，.

取，則，且，.

再證明：中的數(shù)可兩兩配對(duì)，每對(duì)數(shù)的積模余1.即證明：對(duì)任意的 ，則.

否則，不妨設(shè)，即、，，.

設(shè).則

，這與矛盾.

從而，.

最后，在式①中令得

.