Question

如圖，已知P是焦距為上一點(diǎn)，過P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P₁，P₂，且為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）試求當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線C的方程；
（2）設(shè)滿足條件（1）的雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)為A₁，A₂，直線l過定點(diǎn)D（3，0），且與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)（M不為頂點(diǎn)），求證：直線A₁M，A₂N的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．由，得，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，則
又∵P₁，P₂在漸近線上．
∴，則=
又a²+b²=c²=8，a²+b²≥2ab，．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，S有最大值．所以雙曲線C的方程為：x²-y²=4．
（2）設(shè)直線l的方程為x-3=ky，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．有
∴（k²-1）y²+6ky+5=0（k²-1≠0）．
則∴
A₁M的方程為的方程為
直線A₁M，A₂N的交點(diǎn)H的橫坐標(biāo)x_H滿足：
化簡(jiǎn)得：（x₄y₃+2y₃-x₃y₄+2y₄）x_H=2x₄y₃+4y₃+2x₃y₄-4y₄
即：[2（y₃+y₄）+3（y₃-y₄）]x_H=[4ky₃y₄+6（y₃+y₄）+4（y₃-y₄）]．
故A₁M，A₂N的交點(diǎn)H在直線．
分析：（1）先設(shè)P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．代入，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，再把用含三點(diǎn)坐標(biāo)的式子表示，求范圍，根據(jù)范圍找最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的a，b，即可得到當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線C的方程．
（2）先設(shè)直線l的方程，M，N點(diǎn)坐標(biāo)，把直線方程代入（1）中所求雙曲線C的方程中，求M，N的縱坐標(biāo)的和與積，再利用兩點(diǎn)式求出A₁M，A₂M的方程，聯(lián)立，求交點(diǎn)，再驗(yàn)證交點(diǎn)橫坐標(biāo)是否為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題靈活運(yùn)用了直線與雙曲線的關(guān)系，求最值，以及判斷定植．