Question

選做題
（1）（矩陣與變換選做題）已知矩陣M=

1 0 0 2

，曲線(xiàn)y=sinx在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)C，則C的方程是

 

．
（2）（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，

π

2

）到直線(xiàn)ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離是

 

．
（3）（不等式選講選做題）若關(guān)于x的不等式|x-1|-|x+2|≥a的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,二階矩陣,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）設(shè)（x，y）是曲線(xiàn)y=sinx上任意一點(diǎn)，點(diǎn)（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋▁'，y'），依題意可求得

x=x′ y=- 1 2 y′

，利用點(diǎn)（x，y）在曲線(xiàn)y=sinx上，即可求得答案；
（2）將極坐標(biāo)方程ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程y+x=0，極坐標(biāo)中的點(diǎn)（2，

π

2

）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)（0，2），利用點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式即可求得答案；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=|x-1|-|x+2|，可求得g（x）_min，依題意，a＜g（x）_min恒成立，從而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得M=

1 0 0 2

，
設(shè)（x，y）是曲線(xiàn)y=sinx上任意一點(diǎn)，
點(diǎn)（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋▁'，y'），
則有

1 0 0 2

x′ y′

=

x′′ y′′

，即

x′ -2y′

=

x′′ y′′

，
所以

x=x′ y=- 1 2 y′

因?yàn)辄c(diǎn)（x，y）在曲線(xiàn)y=sinx上，
從而-

1

2

y′=sinx′，即y′=-2sinx′．
所以曲線(xiàn)C的方程為y=-2sinx．
（2）∵ρsin（θ+

π

4

)+

2

=0=0，
∴ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=0，
∴y+x=0，
∴點(diǎn)（2，

π

2

）到直線(xiàn)ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離?點(diǎn)（0，2）到直線(xiàn)y+x=0的距離，
∵點(diǎn)（0，2）到直線(xiàn)y+x=0的距離d=

2

2

=

2

，
∴點(diǎn)（2，

π

2

）到直線(xiàn)ρsin(θ+

π

4

)+

2

=0的距離是

2

；
（3）令g（x）=|x-1|-|x+2|，則|x-1|-|x+2|≥a的解集為R?a≤g（x）_min恒成立，
∵g（x）=|x-1|-|x+2|=

3，x≤-2 -2x-1，-2＜x＜1 -3，x≥1

，
∴g（x）_min=-3，
∴a≤-3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）．
故答案為：（1）y=-2sinx；（2）

2

；（3）（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二階矩陣，考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程是關(guān)鍵，考查點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離，考查絕對(duì)值不等式，屬于中檔題．