Question

（2010•武清區(qū)一模）已知正項數列{a_n}滿足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：0＜a_n＜1
（3）求證：a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1、n=2代入所給的式子，解相應的方程即可；
（2）根據題意構造相應的函數f（x）=xⁿ+nx-1，得到a_n為函數的零點，由函數零點存在的判斷方法，得到a_n所在的區(qū)間；
（3）先根據條件適當的放縮a_n的范圍，再由裂項相消法求出式子的和，再證明不等式．

解答：解：（1）∵ann+nan-1=0（n∈N^*），
令n=1得，a₁+a₁-1=0，解得a₁=

1

2

，
令n=2得，a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±

2

，
∵a_n＞0，∴a₂=

2

-1，
證明：（2）∵ann+nan-1=0，
∴a_n是方程xⁿ+nx-1=0的一個根，
設f（x）=xⁿ+nx-1，則f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
∴函數f（x）在（0，1）上至少有一個實數根，
∵f′（x）=nx^n-1+n＞0，
∴函數f（x）在（0，1）上遞增，
則函數f（x）在（0，+∞）上有且僅有一個實數根，且在（0，1）上，
∴a_n∈（0，1），即0＜a_n＜1；
（3）當n=1時，a12=

1

4

＜1，原式成立，
當n≥2時，∵ann+nan-1=0且0＜a_n＜1；
∴a_n=

1-ann

n

＜

1

n

，
∴a12+a22+…+an2＜

1

4

+(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n

)2
＜

1

4

+

1

4

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

＜1，
綜上可得，a12+a22+…+an2＜1成立．

點評：本題是數列與函數、不等式相結合的綜合題，主要考查了函數的零點與方程根的轉化問題，裂項相消法和放縮法，難度較大，考查了分析問題與解決問題的能力．