Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6•pⁿ．
（1）當(dāng)k=1，p=5時(shí)，若數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，求t的值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是一個(gè)等比數(shù)列，求{a_n}的公比及t（用p、k的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)k=1，t=1時(shí)，設(shè)T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，參照教材上推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，求證：{$\frac{1+p}{p}$•T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n}是一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由a_n+a_n+1=6•5ⁿ，a_n+1+a_n+2=6•5ⁿ⁺¹，得到等比數(shù)列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ，a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_n+1+k=6pⁿ⁺¹，數(shù)列{a_n}是一個(gè)等比數(shù)列，所以求出公比為p，由此能求出t．
（3）由T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，$\frac{1}{p}$T_n=a₁+$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，由此能夠證明 $\frac{1+p}{p}$T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n=a₁-6=-5．

解答 解：（1）a_n+a_n+1=6•5ⁿ，
a_n+1+a_n+2=6•5ⁿ⁺¹，…（2分）
設(shè)等比數(shù)列（a_n}的公比是q，
則a_n+a_n+1=6•5ⁿ•5，
∴q=5，…（4分）
n=1時(shí)，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ，
a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_n+1+k=6pⁿ⁺¹，…（6分）
數(shù)列{a_n}是一個(gè)等比數(shù)列，所以求出公比為p，…（7分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（8分）
項(xiàng)數(shù)為n+k-1-（n-1）十1=k+1項(xiàng)，
當(dāng)p=1時(shí)，t（k+1）=6，
∴t=$\frac{6}{k+1}$，…（9分）
當(dāng)p≠1，且p＞0時(shí)，t $\frac{{p}^{n-1}（1-{p}^{k+1}）}{1-p}$=6pⁿ，
∴t=$\frac{6p（1-p）}{1-{p}^{k+1}}$．．…（10分）
（3）證明：∵n是任意的正整數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$=6P¹=6，
依此類推，當(dāng)n取n-1項(xiàng)時(shí)，$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$=$\frac{6{p}^{n}}{{p}^{n-1}}$=6，
∴T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，
$\frac{1}{p}$T_n=$\frac{{a}_{1}}{p}$+$\frac{{a}_{2}}{{p}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，…（12分）
∴（1+$\frac{1}{p}$）T_n=2a₁+$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+2{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+2{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$=a₁+6n-6+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，…（14分）
∴$\frac{1+p}{p}$T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n=a₁-6=-5．…（17分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．